Repaso Prueba coef.2 de Matemáticas

A continuación les mostramos un pequeño resumen de matemáticas, en el cual incluimos algunos ejercicios, cuadros explicativos y links para que aclaren todas las dudas que tengan:

En primer lugar, un recordatorio antes de continuar:
- Monomio: Un sólo término. Ej: 4a ; 2x2
- Binomio: Dos términos. Ej: 2x - 4y
- Trinomio: Tres términos. Ej: 24ab + 9a2 + 16b2
- Polinomio: 4 o más términos. Ej: 18cb + 24ª – ¾y * ½ p

1).- Productos Notables:
Un producto notable es una fórmula empleada en ciertos patrones de expresiones algebraicas, sin la necesidad de realizar una multiplicación término a término. Los productos notables más conocidos son:

1.1 Cuadrado de Binomio: La fórmula del cuadrado de binomio se puede expresar de la siguiente forma: Para (a+b)2 = a2+2ab+b2. Esto se puede traducir en:

“El primer término (a) al cuadrado + el segundo término (b) al cuadrado + el doble del primer término (2a) por el segundo término (b)”

1.2 Suma por diferencia: La fórmula de la suma por diferencia se puede expresar de la siguiente forma: Para (a+b)(a-b) = a2 - b2 .

Esto se explica debido al siguiente fenómeno: (a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b

* Al despejar los términos, obtenemos la suma por diferencia expresada al principio (a2 - b2).

1.3 Binomio con un término en común: La fórmula de un binomio con término común se puede expresar de la siguiente forma: Para (a+b)(a+c) = a2 +(b+c)a + bc.

1.4 Cubo de Binomio: La fórmula del cubo de binomio se puede expresar de las siguientes formas:
*Caso 1: Para (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (para una suma de a+b)
*Caso 2: Para (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. (para una resta de a-b)

1.5 Suma y resta de cubos: La fórmula de ambos productos se pueden expresar de la siguiente forma:
*Caso 1: Para una suma de cubos: Sea a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
*Caso 2: Para una resta de cubos: Sea a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejercicios:
1.- (x + 5)*(x - 5)
2.- (2x + 3y) 2
3.- (4b - 7c)*(8d + 4d)
4.- (3x4 -5y2)2
5.- (5x + 2y)3
6.- (x + 5)(x + 3)
7.- (1 - 4y)3

2).- Factorización:
Consiste en la descomposición de términos compuestos, en términos más pequeños e irreductibles. A continuación una recopilación de los casos de factorización más conocidos:

1.1 Factor Común: La fórmula del factor común se puede expresar de la siguiente forma: Para 2a – 8a + 16a = 2a*(1 – 4 + 8).

*Para considerar: Recuerda que para realizar factor común, puedes considerar sólo aquellos números y/o factores literales que se repitan o sean comunes, y considerarlos en la descomposición de todos los términos con dichas repeticiones.

1.2 Factor Común por agrupación: La fórmula del factor común por agrupación se puede expresar de la siguiente forma:

ax + bx + ay + by = x*(a + b) + y*(a + b)

Esto, a su vez, posee un término común en (a + b) , lo cual quedaría:

x*(a + b) + y*(a + b) = (a + b) * (x + y)

1.3 Trinomio Ordenado: La fórmula del trinomio ordenado se puede expresar de la siguiente forma: Para x2 + 5x + 6 = (x + 3) * (x + 2).

1.4 Trinomio de la forma x2 + bx + c: La fórmula del trinomio ordenado se puede expresar de la siguiente forma: Para 2x2 - 11x + 15:

2x2 - 11x + 15 / *2/2
(se debe multiplicar y dividir por el numero que se indica en la primera cifra)

= (2x) 2 – 11 * (2x) + 30 / 2

= (2x – 6) * (2x – 5) / 2

= 2*(x – 3) * (2x – 5) / 2

=(x + 3)(2x – 5)


1.5 Resta de Cuadrados: La fórmula de la resta de cuadrados se puede expresar de la siguiente forma: Para a2 - b2 = (a + b)(a – b).

1.6 Suma y diferencia de cubos: Las fórmulas respectivas para dicha factorización se pueden expresar de la siguiente forma:

*Caso 1: Suma de Cubos: Sea x3 + y3 = (x + y)*(x2 - xy + y2).
*Caso 2: Resta de Cubos: Sea x3 - y3 = (x - y)*(x2 + xy + y2).

Ejercicios:
1.- a3 + 1
2.- 273 - 8
3.- 9ab – 5ac + 16ad
4.- p2 – 15m + 26
5.- 8x2 - 3xy – 5y2
6.- 1 – a8

Resumen:

1).- Productos Notables:

- Cuadrado de Binomio: (a+b)2 = a2+2ab+b2
- Suma por diferencia: (a+b)(a-b) = a2 - b2
- Binomio con un término común: (a+b)(a+c) = a2 +(b+c)*a + bc.
- Cubo de Binomio Suma: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
- Cubo de Binomio Resta : (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
- Suma de Cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
- Resta de Cubos: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)


2).- Factorización:

- Factor Común: 2a – 8a + 16a = 2a*(1 – 4 + 8).
- Factor Común por agrupación: ax + bx + ay + by = (a + b) * (x + y)
- Trinomio Ordenado: x2 + 5x + 6 = (x + 3) * (x + 2)
- Trinomio de la forma x2 + bx + c: 2x2 - 11x + 15 = (x + 3)(2x – 5)
- Resta de cuadrados: a2 - b2 = (a + b)(a – b)
- Suma de Cubos: x3 + y3 = (x + y)*(x2 - xy + y2)
- Resta de Cubos: x3 - y3 = (x - y)*(x2 + xy + y2)

*Para más información y ejercicos puedes ingresar a las siguientes páginas web:

www.thatquiz.org/es/practicetest?FYIS3255

www.scribd.com/doc/40098/GUIA-EJERCICIOS-DE-FACTORIZACION

3).- Fracciones Algebraicas
Las fracciones algebraicas, como su nombre lo dice, se componen de términos algebraicos, los cuales se expresan por medio de fracciones. Existen diversos tipos de problemas con fracciones algebraicas. Entre los más comunes se encuentran:

3.1 Simplificación: Para simplificar una fracción algebraica, basta con aplicar productos notables o factorización en cada término de ésta (numerador y denominador), si es que es posible. En la primera parte de este repaso, encontrarás todos los tipos de productos y factorización estudiados en detalle. Ej:

*En el ejemplo anterior, se utilizó en el denominador el producto “cuadro de binomio”, para suprimir luego el paréntesis del numerador, y simplificar.

3.2 Suma y Resta de Fracciones: Se utilizan los mismos principios de la simplificación, sólo que ahora, antes de realizar cualquier acción, es necesario operar. Para operar, se necesita buscar un denominador común.

*Búsqueda de un denominador común: Mira el siguiente ejemplo:

Los denominadores son distintos, por lo tanto no podemos operar. Tenemos, en este caso, que los denominadores son “a” y “b”. Para buscar un denominador común, procedemos como en las operaciones tradicionales de fracciones, a buscar por medio de la factorización canónica el denominador común.

a = a*1 y b = b*1 = Por tanto, el denominador común estará dado por a*b*1

Ahora sólo basta reemplazar, y agregar los términos arriba, necesarios para equiparar el nuevo denominador:

3.3 División y multiplicación de Fracciones: Siguiendo todos los procedimientos anteriores, pero agregar que al momento de multiplicar se realiza de forma lineal, y al dividir, se invierte la segunda fracción.

4).- Ecuaciones y Resolución de problemas
Para una buena resolución de planteos y ecuaciones, te recomiendo que analices los problemas detenidamente, considerando las siguientes baes y términologías:

- El cuadrado de un número: x2
- El doble de un número: 2x
- Un número aumentado en dos unidades: x + 2
- La tercera parte de un número: x/3
- El triple de un número: 3x
- Etc.

Como ya es bastante largo el texto, puedes probar practicando con las páginas 28, 29, 30, 31, 32 y 36 del compendio de matemáticas, estos contenidos. En caso de dudas, sólo pregúntanos.

Espero que te haya servido este resumen, no tan breve pero bien explicado. Si tienes alguna duda, puedes dejarnos un comentario con tu nombre y tu pregunta, o bien puedes escribirme al correo (garley2001@hotmail.com) y preguntarme lo que necesites saber. Si quieres más ejercicios o las soluciones de los problemas, mándame un correo a la dirección anterior. Mucha suerte.